有限元分析在力学计算中的原理与实例
一、引言
在力学计算领域，有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种强大而广泛应用的数值计算方法。它能够解决复杂的力学问题，从结构的应力应变分析到热传导与流体流动中的力学相关现象等。随着计算机技术的不断发展，有限元分析在工程设计、科学研究等众多领域发挥着不可替代的作用。
二、有限元分析的基本原理
（一）离散化概念
有限元分析的第一步是将连续的求解域离散化为有限个单元的组合。假设我们有一个二维的平面结构，其占据的区域为
（二）单元插值函数
对于每个单元
（三）虚功原理
虚功原理是有限元分析的理论基础之一。对于一个处于平衡状态的弹性体，外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。设弹性体受到体积力
（四）单元刚度矩阵的推导
根据虚功原理和单元插值函数，可以推导出单元刚度矩阵。对于一个单元，设节点位移向量为
（五）总体刚度矩阵的组装
将各个单元的刚度矩阵组装成总体刚度矩阵
（六）求解方程
得到总体刚度矩阵和总体载荷向量（由单元节点力向量组装而成）后，有限元分析的最终求解方程为：
三、有限元分析在力学计算中的实例
（一）悬臂梁的应力分析
- 问题描述
考虑一个长度为
，宽度为 ，高度为 的悬臂梁，一端固定，另一端受到集中力 的作用。材料的弹性模量为 ，泊松比为 。 - 有限元建模
我们将悬臂梁离散化为若干个梁单元（这里为了简化说明，假设采用简单的梁单元模型）。梁单元的节点有两个，每个节点有三个自由度（沿
、 方向的位移和绕 轴的转角）。 - 计算过程
根据梁单元的刚度矩阵公式：
其中 为梁的截面惯性矩。 将各个梁单元的刚度矩阵组装成总体刚度矩阵 ，并根据悬臂梁的边界条件（固定端的位移和转角为零）对总体刚度矩阵和载荷向量进行处理。在悬臂梁的自由端施加集中力 对应的载荷向量 。 - 结果分析
通过求解方程
得到节点位移。然后根据梁的应力 - 应变关系： 计算出梁中的应力分布。可以发现，在固定端附近的应力最大，随着远离固定端应力逐渐减小。这与理论分析结果是一致的。
（二）平面应力问题 - 带孔平板的应力集中分析
- 问题描述
有一个无限大的平板，中间有一个半径为
的圆形孔。平板在远场受到均匀的单向拉伸应力 。 - 有限元建模 我们采用平面四边形单元对平板进行离散化。在孔的周围需要加密网格，以准确捕捉应力集中现象。
- 计算过程 根据平面应力问题的有限元分析方法，计算每个单元的刚度矩阵并组装成总体刚度矩阵。考虑到问题的对称性，我们可以只对平板的一部分进行建模计算，从而减少计算量。
- 结果分析
计算得到的应力结果表明，在孔的边缘处存在应力集中现象。应力集中系数
可以定义为孔边缘最大应力 与远场应力 的比值。通过有限元分析得到的应力集中系数与理论解（ 对于圆形孔在平面应力情况下）相比较，可以验证有限元分析的准确性。同时，通过改变孔的半径、平板的材料属性等参数，可以进一步研究这些因素对应力集中的影响。
四、有限元分析的误差分析与收敛性
- 误差来源 有限元分析中的误差主要来源于离散化误差、数值计算误差等。离散化误差是由于将连续体离散为有限个单元而产生的。数值计算误差包括在求解线性方程组过程中的舍入误差等。
- 收敛性分析
为了保证有限元分析结果的准确性，需要研究其收敛性。一般来说，随着单元尺寸的减小（即网格的细化），离散化误差会减小，有限元解会收敛到精确解。可以通过能量范数等方法来衡量有限元解的收敛性。例如，对于一个弹性力学问题，设精确解为
，有限元解为 ，能量范数定义为： 其中 为精确应变， 为有限元计算得到的应变。当单元尺寸趋于零时，如果 ，则说明有限元解收敛。
五、结论
有限元分析在力学计算中具有重要的地位和广泛的应用。通过离散化、单元插值、虚功原理等基本原理，可以建立起力学问题的有限元模型并进行求解。实际的实例分析表明，有限元分析能够准确地计算出结构的应力、应变等力学量，并且可以研究各种复杂的力学现象，如应力集中等。同时，误差分析和收敛性研究为有限元分析结果的可靠性提供了保障。在未来的工程设计和科学研究中，有限元分析将继续发挥其巨大的作用，并且随着计算机技术和数值计算方法的不断发展，其应用的范围和精度也将不断提高。