机械设计中的轴的强度校核计算

一、引言

在机械设计领域，轴是一个至关重要的部件。它承担着传递扭矩、支撑旋转部件等多种功能。轴的强度是否足够直接关系到整个机械系统的可靠性和安全性。因此，对轴进行准确的强度校核计算是机械设计过程中不可或缺的环节。本文将深入探讨轴的强度校核计算的原理、方法以及通过实际案例展示具体的计算过程。

二、轴的受力分析

（一）扭矩

扭矩是轴最常见的受力形式之一。当轴传递动力时，如在齿轮传动、带传动等情况下，会在轴上产生扭矩。设轴传递的功率为P（单位：kW），转速为n（单位：r/min），则扭矩T（单位：N·m）可通过公式计算：

例如，一台电机功率为5kW，转速为1450r/min，那么根据上述公式计算得到扭矩：

（二）弯矩

除了扭矩，轴还可能承受弯矩。弯矩的产生通常是由于轴上安装的零件的重力、轴的自重以及轴所受的横向力等因素。例如，当轴上安装有较大质量的齿轮时，齿轮的重力会对轴产生弯矩。

1. 集中力产生的弯矩 如果轴上有集中力F（单位：N）作用在距离某一支撑点距离为l（单位：m）处，那么在该支撑点处产生的弯矩M（单位：N·m）为：

2. 均布载荷产生的弯矩 当轴上受到均布载荷q（单位：N/m）作用，在长度为L（单位：m）的轴段上，对于简支梁情况，在梁中点处产生的弯矩为：

三、轴的强度理论

（一）材料力学基本理论

根据材料力学，轴在复杂受力情况下的强度计算通常基于第三强度理论（最大剪应力理论）或第四强度理论（形状改变比能理论）。

1. 第三强度理论 对于塑性材料制成的轴，第三强度理论认为，当轴内的最大剪应力达到材料的剪切屈服极限时，轴将发生屈服破坏。在复杂应力状态下，最大剪应力与主应力、、的关系为：

根据第三强度理论，强度条件为：

其中为材料的许用应力。

2. 第四强度理论 第四强度理论考虑了形状改变比能，对于轴的强度计算，其强度条件为：

（二）轴的应力计算

1. 扭转切应力 当轴受纯扭矩T作用时，轴横截面上的扭转切应力分布规律为线性分布，在轴的外表面处切应力最大。对于圆形截面轴，最大扭转切应力计算公式为：

其中为抗扭截面系数，对于直径为d（单位：m）的圆形轴，。

2. 弯曲正应力 当轴受弯矩M作用时，轴横截面上的弯曲正应力分布规律为线性分布，在轴的上下表面处正应力最大（对于水平放置的轴，上表面受拉应力，下表面受压应力）。对于圆形截面轴，最大弯曲正应力计算公式为：

其中为抗弯截面系数，对于直径为d的圆形轴，。

四、轴的强度校核计算步骤

（一）确定轴的受力情况

1. 首先要明确轴在工作过程中所受的扭矩来源，如来自电机的动力输出、传动装置的扭矩传递等，根据功率和转速计算出扭矩大小。
2. 分析轴上的弯矩来源，包括轴上安装零件的重力、横向力以及轴的自重等，分别计算出集中力产生的弯矩和均布载荷产生的弯矩，并根据梁的受力分析方法（如静力学平衡方程等）求出轴在各个截面处的弯矩值。

（二）计算轴的应力

1. 根据轴的扭矩和截面尺寸，计算出扭转切应力。
2. 根据轴的弯矩和截面尺寸，计算出弯曲正应力。

（三）根据强度理论进行校核

1. 如果采用第三强度理论，将（对于轴的情况，，）代入进行校核。
2. 如果采用第四强度理论，将、（对于轴的情况）、代入进行校核。

五、实际案例

（一）案例背景

设计一个简单的一级圆柱齿轮减速器中的轴。已知电机功率P = 7.5kW，转速n = 1440r/min，齿轮的分度圆直径d = 200mm，模数m = 5mm，齿宽b = 60mm，齿轮材料密度，轴的材料为45钢，许用应力。

（二）受力分析

1. 扭矩计算 根据公式，可得：

2. 弯矩计算 （1）齿轮重力计算 齿轮的质量，其中，则：

齿轮重力（），则

假设齿轮位于轴的中间位置，那么由齿轮重力产生的弯矩在轴的两端支撑处为：

设轴的两支点间距，则：

（2）由于扭矩产生的附加弯矩 在齿轮传动中，由于扭矩的作用会产生一个附加弯矩，对于圆柱齿轮传动，，则：

轴上的总弯矩

（三）应力计算

1. 扭转切应力计算 假设轴的直径初步设计为d = 30mm = 0.03m，抗扭截面系数

2. 弯曲正应力计算 抗弯截面系数

（四）强度校核

1. 采用第三强度理论

因为，所以轴的强度满足要求。

2. 采用第四强度理论

因为，所以轴的强度也满足要求。

六、结论

轴的强度校核计算在机械设计中具有重要意义。通过准确的受力分析、应力计算以及依据合适的强度理论进行校核，可以确保轴在工作过程中的可靠性和安全性。在实际设计过程中，需要综合考虑各种因素，如轴的受力形式、材料特性等，并且可以根据实际情况选择合适的强度理论进行计算。同时，通过实际案例可以更好地理解和掌握轴的强度校核计算方法，为解决更复杂的机械设计问题奠定基础。