临界转速计算：公式、原因及危害

一、引言

在机械工程领域，临界转速是一个非常重要的概念。当旋转机械的转速达到临界转速时，可能会出现剧烈的振动，这不仅会影响设备的正常运行，还可能导致设备的损坏。因此，准确地计算临界转速、了解其产生的原因以及认识到其危害对于机械设计、运行和维护都具有至关重要的意义。

二、临界转速的定义

临界转速是指旋转机械在旋转过程中，当转速达到某一特定值时，旋转系统会发生共振现象，这个特定的转速值就是临界转速。从动力学的角度来看，旋转机械系统可以简化为一个具有质量、弹性和阻尼的振动系统。当外界激励频率（这里就是旋转频率）与系统的固有频率相等时，就会发生共振。

三、临界转速的计算公式

（一）单圆盘双铰支轴的临界转速

对于单圆盘双铰支轴系统，其临界转速的计算公式基于梁的横向振动理论。假设轴的长度为，轴的弹性模量为，轴的截面惯性矩为，圆盘的质量为，则其临界转速（单位：转/分钟）的计算公式为：

公式推导过程
- 首先，根据梁的弯曲振动理论，轴的横向振动微分方程为：其中，是轴的横向位移，是轴材料的密度，是轴的横截面积。
- 对于两端铰支的梁，其边界条件为：
  - 在和处，。
  - 在和处，。
- 通过求解这个偏微分方程，并考虑到圆盘的质量集中作用在轴的中点（假设圆盘位于轴的中点），可以得到上述临界转速的计算公式。
案例计算
- 例如，有一个轴，其长度，弹性模量，截面惯性矩，圆盘质量。
- 首先计算：
- 然后将其转换为转/分钟：

（二）多圆盘多支撑轴系的临界转速计算

对于更为复杂的多圆盘多支撑轴系，其临界转速的计算通常采用传递矩阵法。

传递矩阵法原理
- 传递矩阵法是将轴系离散为多个单元，每个单元包括一个圆盘和相邻的轴段。对于每个单元，建立其状态向量（包括位移、转角、弯矩和剪力）在单元两端的传递关系。
- 设第个单元的传递矩阵为，则整个轴系的总传递矩阵为。
- 通过求解特征方程（其中是与临界转速相关的特征值，是单位矩阵），可以得到临界转速的值。
案例分析
- 假设有一个三圆盘双支撑轴系，各圆盘的质量分别为，，，轴段的弹性模量和截面惯性矩等参数也已知。
- 首先将轴系离散为三个单元，分别建立每个单元的传递矩阵。
- 然后计算总传递矩阵，求解特征方程得到临界转速的值。这个计算过程相对复杂，通常需要借助计算机软件进行数值计算。

四、产生临界转速的原因

（一）不平衡力

质量不平衡
- 在旋转机械中，由于制造误差、装配误差或者材料不均匀等原因，旋转部件的质量分布可能不均匀。例如，一个圆盘在制造过程中，一侧的材料密度略高于另一侧，这就会导致圆盘的质心与旋转中心不重合。
- 当旋转部件旋转时，质量不平衡会产生离心力，离心力的大小为（其中是不平衡质量，是旋转角速度，是质心与旋转中心的偏心距）。这个离心力会作为一个周期性的激励力作用在旋转系统上。
力的不平衡
- 除了质量不平衡，在一些复杂的旋转机械中，如多级离心泵，由于叶轮之间的水力不平衡，会产生力的不平衡。这种力的不平衡也会对旋转系统产生周期性的激励，当激励频率与系统的固有频率相等时，就会引发临界转速现象。

（二）系统的弹性和惯性

弹性特性
- 旋转系统中的轴、轴承等部件都具有弹性。轴在承受载荷时会发生弯曲变形，轴承也会有一定的弹性变形。这种弹性特性使得系统具有储存和释放能量的能力，类似于弹簧 - 质量系统中的弹簧。
惯性特性
- 旋转部件的质量具有惯性，当系统受到外界激励时，惯性会阻碍系统的运动变化。系统的弹性和惯性共同决定了系统的固有频率，当旋转频率等于固有频率时，就会发生共振，也就是达到临界转速。

五、临界转速的危害

（一）振动加剧

对设备结构的影响
- 当旋转机械达到临界转速时，振动幅度会急剧增加。这种剧烈的振动会使轴、轴承等部件承受过大的交变应力。例如，对于高速旋转的轴，过大的振动可能会导致轴的弯曲变形加剧，甚至可能使轴发生疲劳断裂。 . 对设备连接部件的影响
- 设备中的连接部件，如联轴器、螺栓等，在剧烈振动下也会受到很大的影响。联轴器可能会因为振动而发生磨损、松动，螺栓可能会因为振动而松动甚至断裂，这会进一步影响设备的整体结构稳定性。

（二）影响设备性能

精度降低
- 在一些精密机械中，如数控机床的主轴系统，临界转速下的振动会严重影响加工精度。例如，在铣削加工过程中，由于主轴振动，刀具与工件之间的切削力会发生波动，导致加工尺寸误差增大，表面粗糙度变差。
效率下降
- 对于旋转机械如泵和风机，临界转速下的振动会使内部流场发生紊乱。例如，在离心泵中，振动会导致叶轮与泵壳之间的间隙发生变化，从而使泵的水力效率下降，流量和扬程不稳定。

六、如何避免临界转速

合理设计
- 在机械设计阶段，通过准确计算临界转速，合理选择旋转部件的尺寸、材料和结构形式，尽量提高系统的固有频率，使其远离工作转速范围。例如，在设计高速离心机时，可以增加轴的直径，提高轴的刚度，从而提高临界转速。
动平衡处理
- 对于旋转部件，进行精确的动平衡处理是减少不平衡力的有效方法。通过在旋转部件上添加或去除质量，使质心与旋转中心尽可能重合。例如，在汽车发动机的曲轴生产过程中，会进行高精度的动平衡测试和校正。
安装与维护
- 在设备安装过程中，要确保设备的安装精度，保证轴系的同轴度等安装参数符合要求。在设备运行过程中，定期进行检查和维护，及时发现和处理可能导致临界转速问题的因素，如轴承磨损、部件松动等。

七、结论

临界转速的计算、对其产生原因和危害的理解对于旋转机械的设计、运行和维护至关重要。通过准确的计算，可以预测临界转速的范围，通过合理的设计、动平衡处理以及正确的安装和维护，可以有效地避免临界转速带来的危害，确保旋转机械的安全、稳定和高效运行。在实际工程中，需要综合考虑各种因素，不断优化设计和运行方案，以应对临界转速相关的问题。

相关文献