力学计算：薄板弯曲应力集中点计算

一、引言

在力学工程领域，薄板结构的应用十分广泛，例如航空航天领域中的机翼蒙皮、汽车工业中的车身外壳等。薄板在承受弯曲载荷时，应力集中现象是一个需要重点关注的问题，准确计算薄板弯曲应力集中点对于确保结构的安全性和可靠性至关重要。本文将详细介绍薄板弯曲应力集中点的计算方法，包括理论推导和实际案例分析。

二、薄板弯曲的基本理论

（一）薄板的假设

在薄板弯曲理论中，通常采用以下假设：

  1. 薄板的厚度远小于薄板的其他两个方向的尺寸（长和宽）。
  2. 薄板变形前垂直于中面的直线段，在变形后仍垂直于变形后的中面，并且长度不变。这一假设称为直法线假设。

（二）薄板弯曲的基本方程

对于薄板在横向载荷作用下的弯曲问题，根据弹性力学理论，可以得到薄板弯曲的基本方程：

其中，为薄板的弯曲刚度，为材料的弹性模量，为材料的泊松比，为薄板的挠度函数，。

三、应力集中点的概念

应力集中是指受力构件由于几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内应力显著增大的现象。在薄板弯曲中，应力集中点通常出现在薄板的孔洞边缘、几何形状突变处或者集中载荷作用点附近。这些部位的应力可能远高于薄板其他部位的应力，是薄板结构容易发生破坏的危险点。

四、薄板弯曲应力集中点的计算方法

（一）理论计算

  1. 对于带有圆形孔洞的薄板在均匀拉伸载荷作用下的应力集中系数的计算。
    • 根据弹性力学的复变函数方法，设薄板在无穷远处受到均匀拉伸应力的作用，薄板上有一个半径为的圆形孔洞。
    • 首先引入复应力函数和，其中。对于这种情况，可以得到应力分量的表达式：
    • 通过求解在圆形孔洞边界上的边界条件，可以得到应力集中系数的表达式：
      • （对于平面应变情况）
      • （对于平面应力情况）
  2. 对于薄板在弯曲载荷下，在薄板边缘有缺口的应力集中计算。
    • 假设薄板的宽度为，厚度为，在薄板的边缘有一个深度为，根部半径为的缺口。
    • 根据应力集中系数的近似计算公式：

（二）数值计算方法

  1. 有限元法
    • 有限元法是一种广泛应用于工程力学计算的数值方法。对于薄板弯曲应力集中点的计算，其基本步骤如下：
      • 离散化：将薄板结构划分为有限个单元，常用的单元类型有三角形单元和四边形单元。
      • 建立单元刚度矩阵：根据薄板的本构关系和几何关系，建立每个单元的刚度矩阵。
      • 组装总体刚度矩阵：将各个单元的刚度矩阵组装成总体刚度矩阵。
      • 施加载荷和边界条件：根据实际问题，在薄板结构上施加相应的载荷和边界条件。
      • 求解线性方程组：求解总体刚度矩阵方程，得到薄板结构的节点位移。
      • 计算应力：根据节点位移，通过几何关系和本构关系计算薄板结构的应力。
    • 例如，对于一个带有复杂形状孔洞的薄板在弯曲载荷下的应力集中计算。
      • 首先，使用有限元软件（如ANSYS）对薄板进行建模，将薄板划分为足够数量的四边形单元。
      • 然后，设置薄板的材料属性（弹性模量、泊松比等）和几何尺寸。
      • 接着，在薄板上施加弯曲载荷，并设置合适的边界条件（如固定薄板的一端）。
      • 最后，通过求解得到薄板的应力分布，通过观察应力云图可以直观地找到应力集中点及其应力值。

五、实际案例分析

（一）案例描述

在一个汽车车身外壳的设计中，车身外壳的某一部分可以近似看作薄板结构。在这个薄板结构上有一些用于安装零部件的孔洞，并且薄板的边缘有一些形状变化。在汽车行驶过程中，车身外壳会受到各种载荷的作用，包括弯曲载荷。为了确保车身外壳的安全性和可靠性，需要计算薄板在弯曲载荷下的应力集中点。

（二）计算过程

  1. 理论计算
    • 对于孔洞处的应力集中计算，假设孔洞近似为圆形，根据前面提到的圆形孔洞在平面应力情况下的应力集中系数计算公式。已知远离孔洞处的名义应力，则孔洞边缘的最大应力。
    • 对于薄板边缘形状变化处的应力集中计算，测量形状变化处的深度和根部半径，根据公式计算应力集中系数，再乘以名义应力得到最大应力。
  2. 数值计算（有限元法）
    • 使用ANSYS软件对车身外壳的这一薄板部分进行建模。
    • 薄板的材料为钢材，弹性模量，泊松比。
    • 根据实际尺寸建立薄板的几何模型，并对孔洞和边缘形状变化处进行精细建模。
    • 施加载荷：根据汽车行驶时的受力分析，在薄板上施加等效的弯曲载荷。
    • 设置边界条件：固定薄板与车身其他结构连接的部分。
    • 求解得到薄板的应力分布云图。从应力云图中可以清晰地看到应力集中点的位置，并且可以得到应力集中点的具体应力值。通过与理论计算结果进行对比，发现两者基本相符，验证了计算方法的正确性。

（三）结果分析与结论

  1. 结果分析
    • 通过理论计算和数值计算，得到了薄板在弯曲载荷下应力集中点的位置和应力值。在孔洞边缘和薄板边缘形状变化处都出现了明显的应力集中现象。
    • 比较理论计算和数值计算结果，发现数值计算结果更加精确，因为理论计算中采用了一些简化假设，而数值计算能够考虑更多的实际因素，如薄板的复杂几何形状、材料的不均匀性等。
  2. 结论
    • 在汽车车身外壳薄板结构的设计中，必须充分考虑应力集中问题。通过准确计算应力集中点的应力值，可以合理地选择材料和优化薄板结构的设计，如增加孔洞边缘的圆角半径、避免薄板边缘的急剧形状变化等，从而提高车身外壳的安全性和可靠性。

六、总结

本文详细介绍了薄板弯曲应力集中点的计算方法，包括理论计算方法（如复变函数方法、近似计算公式）和数值计算方法（有限元法）。通过实际案例分析，展示了如何将这些计算方法应用于工程实际问题的解决。在工程设计中，准确计算薄板弯曲应力集中点对于确保结构的安全性和可靠性具有重要意义，同时也为进一步优化结构设计提供了依据。