力学计算：悬臂梁的挠度精确计算

一、引言

在力学计算领域，悬臂梁的挠度计算是一个非常重要的部分。无论是在建筑结构设计、机械工程还是航空航天等领域，准确计算悬臂梁的挠度对于确保结构的安全性和可靠性都有着至关重要的意义。悬臂梁是一端固定，另一端自由的梁结构，在受到外力作用时会发生弯曲变形，而挠度就是用来描述这种弯曲变形程度的一个重要参数。

在进行悬臂梁挠度计算之前，我们需要基于材料力学中的一些基本假设。这些假设包括：梁是均匀的、各向同性的；梁的变形是小变形，即梁的位移和应变相对于梁的尺寸来说是很小的；梁的横截面在变形前后保持平面且垂直于梁的轴线。

对于一个悬臂梁，当在其自由端施加一个集中力时，梁内部会产生弯矩。根据静力学平衡原理，在梁的固定端，弯矩的大小等于力乘以梁的长度，即。

根据材料力学中的挠曲线近似微分方程：，其中是梁的挠度，是沿着梁长度方向的坐标，是材料的弹性模量，是梁横截面的惯性矩。

对于悬臂梁在自由端受集中力的情况，弯矩（这里的负号是根据弯矩的正负规定）。将代入挠曲线近似微分方程可得：

对这个方程进行两次积分可以得到悬臂梁的挠度方程：

首先对进行一次积分，得到：

再进行一次积分得到：

由于悬臂梁在固定端（）的挠度和转角都为零，即，，代入上面的方程可以得到，。

所以悬臂梁在自由端受集中力时的挠度方程为：

在自由端（）的挠度为：

在一个机械加工车间的悬臂式货架设计中，悬臂梁的长度，采用的材料是钢材，其弹性模量。悬臂梁的横截面为矩形，宽度，高度。在悬臂梁的自由端需要承受一个集中力。现在需要计算悬臂梁自由端的挠度是否在允许的范围内。