工业自动化计算：机器人运动轨迹规划计算

一、引言

在工业自动化领域，机器人的应用越来越广泛。机器人运动轨迹规划计算是确保机器人高效、准确完成任务的关键。无论是在汽车制造中的焊接、装配任务，还是在物流仓库中的货物搬运，合理的运动轨迹规划都能提高生产效率、降低成本并减少误差。

二、机器人运动轨迹规划的基本概念

（一）机器人运动学模型

机器人的运动学模型描述了机器人各关节变量与末端执行器位姿之间的关系。对于一个具有 个关节的机器人，其末端执行器的位置 和姿态（通常用欧拉角表示，如 ）可以表示为关节变量 的函数。 在笛卡尔空间中，机器人末端执行器的位置可以通过正运动学方程来计算。以常见的6自由度机器人为例，其正运动学方程可以表示为：

其中 是末端执行器相对于基坐标系的齐次变换矩阵，它包含了位置和姿态信息。

（二）轨迹规划的目标和约束

  1. 目标
    • 轨迹规划的主要目标是使机器人末端执行器能够从起始点以某种最优的方式到达目标点。这里的“最优”可以有多种定义，例如最短路径、最短时间、最小能量消耗等。
  2. 约束
    • 关节限制约束：每个关节都有其运动范围的限制，如 ，其中 。
    • 速度和加速度约束：机器人关节的运动速度 和加速度 也有其限制范围，以确保机器人运动的平稳性和安全性。例如， 和 。

三、机器人运动轨迹规划的计算方法

（一）基于关节空间的轨迹规划

  1. 三次多项式插值法
    • 在关节空间中，当已知机器人起始关节角度 和目标关节角度 ，以及起始时刻 和结束时刻 ，可以使用三次多项式来规划关节角度随时间的变化轨迹。
    • 设关节角度 的三次多项式表达式为 。
    • 根据边界条件：，，，（这里假设起始和结束时刻速度为0，以保证运动的平稳性）。
    • 可以得到以下方程组： \begin{align*} \theta_&=a_0\ \theta_&=a_0 + a_1t_f+a_2t_f^2 + a_3t_f^3\ 0&=a_1\ 0&=a_1 + 2a_2t_f+ 3a_3t_f^2 \end{align*}
    • 解这个方程组可以得到系数 ，从而确定关节角度随时间的变化轨迹。
  2. 五次多项式插值法
    • 当需要考虑关节的速度和加速度在起始和结束时刻的连续性时，可以使用五次多项式插值法。
    • 设关节角度 的五次多项式表达式为 。
    • 根据边界条件：，，，，，。
    • 可以得到一个包含6个方程的方程组，解这个方程组可以得到系数 ，从而确定关节角度随时间的变化轨迹。

（二）基于笛卡尔空间的轨迹规划

  1. 直线插补法
    • 在笛卡尔空间中，如果要使机器人末端执行器从起始点 沿直线运动到目标点 ，可以使用直线插补法。
    • 首先计算两点之间的向量 。
    • 设机器人末端执行器的位置 随时间 的变化轨迹为： [P(t)=P_+\frac{t}{t_f}\vec{v}] 其中 是运动从起始点到目标点所需的时间。
  2. 圆弧插补法
    • 当机器人需要沿着圆弧轨迹运动时，例如在焊接圆形工件时，就需要使用圆弧插补法。
    • 设圆弧的圆心为 ，半径为 ，起始点为 ，目标点为 。
    • 首先计算圆心到起始点和目标点的向量 和 。
    • 然后根据圆弧的参数方程，可以得到机器人末端执行器的位置 随时间 的变化轨迹。

四、实际案例：汽车焊接机器人运动轨迹规划

（一）问题描述

在汽车生产线上，有一个焊接机器人需要对汽车车身的几个特定焊点进行焊接。已知焊点的坐标位置，机器人的起始位置，并且要求机器人在运动过程中要满足关节速度和加速度的限制，同时要尽量减少运动时间。

（二）解决方法

  1. 确定轨迹规划空间
    • 由于焊点的位置是在笛卡尔空间中给出的，我们首先考虑基于笛卡尔空间的轨迹规划。
  2. 选择轨迹规划方法
    • 对于相邻的焊点之间，我们采用直线插补法来规划机器人末端执行器的运动轨迹。因为直线插补法简单直接，可以快速地使机器人从一个焊点移动到下一个焊点。
    • 设第一个焊点的坐标为 ，第二个焊点的坐标为 ，机器人的起始位置为 。
    • 根据直线插补法的公式，从起始位置到第一个焊点的运动轨迹为： [P(t)=P_0+\frac{t}{t_}(P_1 - P_0)] 其中 是从起始位置到第一个焊点所需的时间。
    • 从第一个焊点到第二个焊点的运动轨迹为： [P(t)=P_1+\frac{t}{t_}(P_2 - P_1)] 其中 是从第一个焊点到第二个焊点所需的时间。
  3. 考虑速度和加速度约束
    • 在计算运动时间 和 时，需要考虑机器人关节的速度和加速度约束。
    • 假设机器人每个关节的最大速度为 ，最大加速度为 。
    • 对于直线运动，根据运动学公式 （这里 是两点之间的距离， 是运动时间），可以计算出最大允许的运动时间，以满足速度约束。
    • 同时，根据加速度公式 ，可以进一步调整运动时间，以满足加速度约束。

（三）结果分析

通过采用上述的轨迹规划方法，焊接机器人能够准确地到达各个焊点进行焊接操作。并且由于合理地考虑了速度和加速度约束，机器人的运动过程平稳，没有出现超调现象。同时，由于采用了直线插补法这种相对简单高效的轨迹规划方法，减少了计算量，提高了焊接效率。

五、结论

机器人运动轨迹规划计算在工业自动化中具有重要的意义。通过合理选择轨迹规划空间（关节空间或笛卡尔空间）和轨迹规划方法（如多项式插值法、直线插补法、圆弧插补法等），并考虑机器人的各种约束条件（关节限制、速度和加速度约束等），可以使机器人高效、准确地完成各种任务。在实际应用中，如汽车焊接机器人的案例所示，有效的轨迹规划可以提高生产效率、保证产品质量并延长机器人的使用寿命。随着工业自动化技术的不断发展，机器人运动轨迹规划计算也将不断优化和创新，以适应更加复杂的生产需求。