力学计算中拱结构的受力计算

一、引言

拱结构在建筑、桥梁等工程领域有着广泛的应用。对拱结构进行准确的受力计算是确保这些结构安全可靠的关键。在力学计算中，拱结构的受力情况较为复杂，涉及到多种力的相互作用以及结构的几何特性等因素。本文将深入探讨拱结构的受力计算方法，并通过实际案例来说明如何运用这些方法解决实际问题。

二、拱结构受力计算的基本理论

（一）拱的类型

拱可以分为三铰拱、两铰拱和无铰拱等类型。不同类型的拱在受力特性上有所差异。

三铰拱 三铰拱由两个拱脚铰和一个顶铰组成。这种拱结构是静定结构，其内力可以通过静力平衡方程直接求解。
两铰拱 两铰拱只有两个拱脚铰，属于一次超静定结构。在计算其内力时，除了静力平衡方程外，还需要考虑变形协调条件。
无铰拱 无铰拱没有铰，是三次超静定结构。其内力计算更为复杂，需要采用结构力学中的力法或位移法等方法。

（二）拱结构的受力分析

拱结构主要承受竖向荷载、水平荷载以及拱自身的自重等。

竖向荷载作用下的受力 当拱结构承受竖向荷载时，拱内会产生轴力、剪力和弯矩。轴力主要承担竖向荷载的传递，而剪力和弯矩则反映了拱截面的受力状态。
- 对于三铰拱，在竖向荷载作用下，根据静力平衡方程，和可以计算出拱的支座反力。设拱的跨度为，矢高为，左支座反力的竖向分量可由得到：左支座反力的水平分量可根据拱顶铰处弯矩为零的条件计算得到。
- 对于两铰拱和无铰拱，在竖向荷载作用下，除了考虑静力平衡方程外，还需要考虑结构的变形协调关系。例如，对于两铰拱，在竖向均布荷载作用下，利用弹性中心法，可将超静定结构转化为静定结构进行计算。
水平荷载作用下的受力 水平荷载（如风力、地震力等）作用于拱结构时，会增加拱的内力复杂性。拱在水平荷载作用下，轴力、剪力和弯矩的分布会发生变化。对于三铰拱，水平荷载作用下，支座反力可以通过静力平衡方程快速计算。例如，若水平荷载作用于拱顶，左支座反力的水平分量。

三、拱结构受力计算的公式推导

（一）三铰拱内力计算公式

轴力计算公式 设拱轴方程为，在任意截面处，轴力可表示为：其中为拱轴在该截面处的切线与轴的夹角，，，。
剪力计算公式 剪力的计算公式为：
弯矩计算公式 弯矩在任意截面处可表示为：其中为相应简支梁在该截面处的弯矩。

（二）两铰拱内力计算公式

对于两铰拱，采用弹性中心法计算内力。设弹性中心的位置坐标为，在荷载作用下，内力计算公式如下：

轴力计算公式 轴力为：其中为基本结构（去掉多余约束后的静定结构）在荷载作用下的轴力，为基本结构在荷载作用下沿多余未知力方向的位移，为基本结构在单位力作用下沿方向的位移，为多余未知力（水平推力）。
剪力计算公式 剪力为：这里为基本结构在荷载作用下的剪力，为基本结构在荷载作用下沿多余未知力方向的位移，为基本结构在单位力作用下沿方向的位移，为多余未知力（竖向力）。
弯矩计算公式 弯矩为：其中为基本结构在荷载作用下的弯矩。

四、实际案例分析

（一）案例背景

某古建筑的石拱结构，跨度，矢高，拱上承受均布竖向荷载（包括自重和屋面荷载等）。该拱为三铰拱，要求计算拱在跨中截面处的内力。

（二）计算过程

计算支座反力
- 首先计算左支座反力的竖向分量：根据公式，由于是均布荷载，则：
- 然后计算左支座反力的水平分量。对于三铰拱，根据拱顶铰处弯矩为零的条件，设拱轴方程为，在拱顶处，。由（为拱顶铰）可得：
计算跨中截面内力
- 计算跨中截面处的轴力：跨中处，，根据轴力公式，，，则。
- 计算跨中截面处的剪力：根据剪力公式，，，则。
- 计算跨中截面处的弯矩：根据弯矩公式，相应简支梁跨中弯矩，则。

五、结论

通过对拱结构受力计算的理论分析和实际案例计算，我们可以看到不同类型的拱结构在受力计算方法上有所不同。三铰拱的内力计算相对简单，可以直接通过静力平衡方程求解。而两铰拱和无铰拱属于超静定结构，需要考虑变形协调条件进行内力计算。在实际工程中，准确的受力计算对于拱结构的设计和安全评估至关重要。同时，在进行拱结构受力计算时，需要根据具体的结构类型、荷载情况等因素选择合适的计算方法。